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Bien qu'ils aient bouleversé les idées reçues et provoqué un renversement complet des conceptions classiques en mathématiques, les théorèmes de complétude et d'incomplétude énoncés par Kurt Gödel dès 1930 demeurent encore aujourd'hui largement méconnus. Ce livre, à la fois oeuvre de documentation historique et de réflexion philosophique, se propose de décrire l'avant et l'après Gödel en retraçant l'histoire de la notion du nombre depuis Platon et Aristote jusqu'au renversement révolutionnaire des fondements mathématiques induit par les théorèmes de Gödel. Les notions mathématiques nécessaires pour aborder le principe des démonstrations de Gödel sont données et commentées par l'auteur, permettant ainsi à cet ouvrage inédit et de grande valeur de s'adresser à un large public.
Dans un esprit de documentation plutôt que de polémique, ce livre se veut aussi une invitation à la réflexion.
Mathématiciens, logiciens, historiens et philosophes des sciences.
Le nombre sous l'Ancien Régime : le nombre chez Platon et chez Aristote - D'Eudoxe à Archimède - Le nombre aux mains de la philosophie et de la théologie - Le nombre s'émancipe - Le nombre repris par les mathématiciens - Non ! Sire, c'est une révolution : l'évolution postcantorienne - La formalisation des mathématiques - Le théorème de complétude de la logique du premier ordre - Les théorèmes d'incomplétude - Des mathématiques postgödeliennes - Epilogue - Bibliographie - Table des signes conventionnels - Index
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"Cet ouvrage érudit et documenté, très complet, présente l'originalité de fournir, sur des points essentiels, des démonstrations claires et à la portée d'un public cultivé intéressé par les mathématiques.
Par sa clarté et son érudition, par le fait qu'il présente de manière abordable un aspect important et assez négligé de l'évolution de la pensée, ce livre est une contribution importante qu'appréciera également le lecteur moins féru de mathématiques que d'histoire de la pensée scientifique."
Bulletin de l'APMEP, décembre 2000.
"Cet ouvrage offre une remarquable introduction aux théorèmes de limitations internes aux formalismes (Gödel, Löwenheim-Skolem, Tarski...) ainsi qu'une profonde réflexion sur la nature des mathématiques. Il s'agit d'un livre qui devrait être conseillé à tous les étudiants philosophes, informaticiens ou mathématiciens qui désirent s'initier à la logique contemporaine ou comprendre la nature des mathématiques. "
Revue des Questions Scientifiques, Volume 73
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