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L'objectif principal du troisième volume de ce Cours d'Analyse est de donner une introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles et d'introduire certains outils de base pour les méthodes mathématiques de la physique, comme les espaces hilbertiens, les séries et l'intégrale de Fourier-Laplace et les distributions. La première partie présente la théorie fondamentale des équations différentielles ordinaires en utilisant les méthodes analytiques classiques. Le premier chapitre concerne les théorèmes d'existence et d'unicité généraux; le second traite les équations linéaires. La deuxième partie développe les outils de bases pour l'étude des équations aux dérivées partielles: les espaces hilbertiens, les développements orthogonaux, les opérateurs dans les espaces hilbertiens, les transformées de Fourrier et de Laplace. Elle contient aussi une introduction à la théorie des distributions. La troisième et dernière partie concerne les équations aux dérivées partielles; le premier chapitre de celle-ci étudie, entre autres, la problématique générale autour des équations linéaires du second ordre, en donnant les solutions formelles pour les équations de Laplace-Poisson, de Schrödinger, de la chaleur et des ondes. Le dernier chapitre présente quelques démonstrations précises concernant le laplacien et ses valeurs propres. Outil de travail conçu pour les étudiants en mathématiques et physique dans leurs deuxième et troisième années d'études, la richesse et la complétude de son index en font un manuel de référence pour tout mathématicien.
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Conventions, notations et rappels - Equations différencielles ordinaires - Existence et unicité des solutions: Généralités sur les équations différencielles ordinaires - Théorèmes généraux - Equations linéaires - Prolongement des solutions - Exemples - Compléments - Remarques - Exercices - Equations linéaires: Systèmes linéaires généraux du premier ordre - Systèmes linéaires du premier ordre à coefficients constants - Equations linéaires d'ordre supérieur - Equations linéaires du second ordre - Solutions à l'aide de series entières - Etude qualitative des équations différencielles linéaires du second ordre - Exercices - Quelques compléments - Analyse Hilbertienne - Espaces de Hilbert: Notions fondamentales - Exemples - Espaces séparables - Systèmes orthogonaux - Séries et sommes dans un espace préhilbertien - Bases orthonormales - Approximation optimale - Compléments - Développements orthogonaux - Séries de Fourier - Convergence ponctuelle des séries de Fourier - Exercices - Compléments et généralisations - Séries de Fourier des distributions - Exercices - Polynômes orthogonaux - Opérateurs dans les espaces hilbertiens - Notions fondamentales - Exemples- Opérateurs compacts - Théorie spectrale pour les opérateurs compacts symétriques - Equations intégrales - Spectre d'un opérateur borné - Exercices - Opérateurs non bornés - Spectre des opérateurs non bornés - Langage de la mécanique quantique - Remarques - Transformations de Fourier et de Laplace - Transformation de Fourier - Développements théoriques - Formule de Stirling - Distributions - Quelques compléments élémentaires - Exercices - Compléments concernant la transformation - Transformation de Laplace - Développements théoriques - Transformée de Laplace des distributions - Application aux équations différentielles - Exercices - Remarques complémentaires concernant la transformation de Laplace - Equation aux dérivées partielles: Introduction - Généralités - Equation aux dérivées partielles linéaires du premier ordre - Equation aux dérivées partielles linéaires du second ordre - Solutions formelles - Conditions aux limites non homogènes - Exemples d'opérateurs - Appendice - Exercices - Compléments - Problèmes associés au Laplacien : Formules préliminaires - Fonctions harmoniques - Fonctions sous-harmoniques - Propriétés des fonctions harmoniques - Problème de Dirichlet - Valeurs propres - Equations de la chaleur - Equation des ondes - Exercices - Indications bibliographiques - Réponses aux exercices - Bibliographie - Index
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"Ces livres sont de très grande qualité. Ils ont été produit avec grand soin à tous les points de vue. L'auteur réussit parfaitement à transmettre une matière somme toute assez ardue, grâce à une présentation experte et dynamique, avec souci constant de présentation didactique.
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Revue des questions scientifiques
"Die Präsentation des Materials in allen drei Bänden ist klar und gut lesbar, und der Text wird durch eine Fülle von Aufgaben unterstützt. Die Strukturierung des Stoffes ist so gestaltet, dass ein einzelner Band ohne weiteres isoliert gelesen werden kann, oder dass man sich punktuell auf einzelne Abschnitte konzentrieren kann. Auch als Nachschlagewerk für Eingeweihte eignet sich das Werk vorzüglich."
Elemente der Mathematik
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